Mod-1.0 Modellierung Prof. Dr. Uwe Kastens WS 2011 / 2012 (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 100 -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.1 Begründung der Vorlesung * Das Modellieren ist eine für das Fach Informatik typische Arbeitsmethode. * Mit der Modellierung einer Aufgabe zeigt man, ob und wie sie verstanden wurde. * Ein zutreffendes Modell ist Voraussetzung und Maßstab für eine systematische Lösung. * Als Ausdrucksmittel muss man passende Kalküle und Notationen anwenden können. (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 101 Ziele: Hinweis auf die Bedeutung der Modellierung in der Vorlesung: Kurze Erläuterung der Aussagen. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.2 Ziele Die Teilnehmer sollen * einen Überblick über grundlegende Modellierungsmethoden und -kalküle bekommen, * den konzeptionellen Kern der Kalküle beherrschen, * die für die Methoden typischen Techniken erlernen und * Kalküle an typischen Beispielen anwenden. Insgesamt sollen sie lernen, * Aufgaben präzise zu analysieren und zu beschreiben, * formale Kalküle als Arbeitsmittel einzusetzen und * den praktischen Wert von präzisen Beschreibungen erkennen. siehe Beschreibung des Moduls I.2.1 im Modulhandbuch: http://www.cs.uni-paderborn.de/studium/studiengaenge/pruefungswesen/modulhandbuch.html (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 102 Ziele: Ziele der Vorlesung verstehen in der Vorlesung: Begründung der Ziele -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.3 Durchführung Zu jedem Modellierungskalkül soll(en) * mit einigen typischen kleinen Beispielen motivierend hingeführt werden, * der konzeptionelle Kern des Kalküls vorgestellt werden, * Anwendungstechniken und Einsatzgebiete an Beispielen gezeigt und in den Übungen erfahren werden, * an einem durchgehenden Beispiel größere Zusammenhänge gelernt werden, * auf weiterführende Aspekte des Kalküls, seine Rolle in Informatikgebieten und -vorlesungen sowie auf algorithmische Lösungsverfahren nur verwiesen werden, (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 103 Ziele: Ausrichtung der Vorlesung in der Vorlesung: * Hier: Einführung und Anwendung der Kalküle, * in anderen Vorlesungen werden sie vertieft. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.4 Inhalt Thema Semesterwoche Kap. im Buch "Modellierung" 1. Einführung 1 1 2. Grundlegende Strukturen Wertebereiche 2 2 Beweistechniken 3 4.3 3. Terme, Algebren 4, 5 3 4. Logik Aussagenlogik 6 4.1 Verifikation von Algorithmen 7 - Prädikatenlogik 8 4.2 5. Graphen 9, 10 5 Verbindung, Zuordnung, Anordnung 6. Modellierung von Strukturen Kontextfreie Grammatiken, 11 6.1 XML 6.2 Entity-Relationship Modell 12 6.3 UML Klassendiagrame 6.4 7. Modellierung von Abläufen Endliche Automaten, 13 7.1 Petri-Netze 14 7.2 8. Projekte, Zusammenfassung 15 8 (c) 2010 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 104 Ziele: Überblick über den Inhalt bekommen in der Vorlesung: Die Struktur wird erläutert. Verständnisfragen: * Welche der Begriffe sind Ihnen schon begegnet? * Was stellen sie sich darunter vor? -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.5 Literaturhinweise Elektronisches Vorlesungsmaterial: * U. Kastens: Vorlesung Modellierung WS 2011 / 2012 http://ag-kastens.uni-paderborn.de/lehre/material/model Das Buch zur Vorlesung: * Uwe Kastens, Hans Kleine Büning: Modellierung - Grundlagen und formale Methoden, 2. Auflage, Carl Hanser Verlag, 2008 Weitere Bücher zum Nachlernen und Nachschlagen: * Gerhard Goos: Vorlesungen über Informatik, Band 1, 3. Auflage, Springer- Lehrbuch, 2000 * Thierry Scheurer: Foundations of Computing, System Development with Set Theory and Logic, Addison-Wesley, 1994 * Daniel J. Velleman: How To Prove It - A Structured Approach, 2nd ed., Cambridge University Press, 2006 (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 105 Ziele: Literatur zur Vorlesung kennenlernen in der Vorlesung: Erläuterungen dazu. Verständnisfragen: * Suchen Sie das Buch "Modellierung" im Semesterapparat. * Verfolgen Sie die URLs. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.6 Bezüge zu anderen Vorlesungen Grundlagen der Programmierung Modellierung Eigenschaften von D & A Problem verstehen formal beschreiben bevor implementieren Datenstrukturen & Eigenschaften und Strukturen von Sprachen Algorithmen Grundlagen der Programmier- auf grundlegenden sprachen Kalkülen aufbauen Spezifikation von Software-Aufgaben Berechenbarkeit & und -Lösungen formale Sprachen Algorithmen & Softwareentwurf Probleme und Aufgaben präzise beschreiben Komplexität (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 106 Ziele: Einordnung der Vorlesung in der Vorlesung: * Vorlesungen im Studienplan zeigen. * Bezüge erläutern. Verständnisfragen: * Finden Sie den Studienplan im WWW. * Können Sie die Bezüge an den Inhaltsbeschreibungen der Vorlesungen nachvollziehen? -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.7 Elektronisches Skript: Startseite (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 107 Ziele: Das elektronische Skript kennenlernen. in der Vorlesung: Erläuterungen dazu Verständnisfragen: * Suchen Sie das Skript im WWW. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.8 Elektronisches Skript: Termine ... (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 108 Ziele: Organisation der Vorlesung kennenlernen in der Vorlesung: Organisatorisches erläutern -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.9 Regeln Übungen: Es werden 4-stündige Übungen angeboten. Darin werden Aufgaben zum Vorlesungsstoff unter Anleitung gelöst. Hausübungen: Es wird in jeder Woche ein Hausübungszettel ausgegeben (freitags). Abgabe der Lösungen am übernächsten Montag. Bearbeitung in Gruppen (2- 4). Lösungen werden korrigiert, bewertet und zurückgegeben. Kurztests: Es werden voraussichtlich 4 Kurztests (ca. 20 min) während der Zentralübung geschrieben korrigiert, bewertet und zurückgegeben. Bonus: Durch Vorrechnen in den Übungen, Punkte aus den Hausübungen und den Kurztests kann ein Bonus erworben werden. Damit kann die Note einer bestandenen Klausur um 1 oder 2 Notenschritte verbessert werden, z.B. von 2,3 auf 2,0 oder von 3,0 auf 2,3. Details der Regeln findet man auf der Organisationsseite. (c) 2010 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 109 Ziele: Organisation der Vorlesung kennenlernen in der Vorlesung: Organisatorisches erläutern: * Anmeldung zu Übungen, * Bearbeitung der Hausaufgaben, * Klausuren -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.11 Elektronisches Skript: kommentierte Folien (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 111 Ziele: Arbeitshinweise zu den Folien kennenlernen in der Vorlesung: Erläuterungen dazu -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.12 Beispiel: Die Flussüberquerung Aufgabe: Ein Mann steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf am linken Ufer eines Flusses, den er überqueren will. Er hat ein Boot, das groß genug ist, ihn und ein weiteres Objekt zu transportieren, so dass er immer nur eins der drei mit sich hinübernehmen kann. Falls der Mann allerdings den Wolf und die Ziege oder die Ziege und den Kohlkopf unbewacht an einem Ufer zurücklässt, so wird einer gefressen werden. Ist es möglich, den Fluss zu überqueren, ohne dass die Ziege oder der Kohlkopf gefressen werden? Quelle: Hopcroft, Ullman: Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie, S. 14, 15 (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 112 Ziele: Modellierung am Beispiel kennenlernen in der Vorlesung: Erläuterungen zu der Aufgabe, Skizze. Verständnisfragen: * Welche Aspekte der Aufgabe sind für die Lösung wichtig? * Welche sind unwichtig? * Wie können wir die wichtigen Aspekte präzise beschreiben? -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.12a Beispiel: Die Flussüberquerung Aufgabe: Ein Mann steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf am linken Ufer eines Flusses, den er überqueren will. Er hat ein Boot, das groß genug ist, ihn und ein weiteres Objekt zu transportieren, so dass er immer nur eins der drei mit sich hinübernehmen kann. Falls der Mann allerdings den Wolf und die Ziege oder die Ziege und den Kohlkopf unbewacht an einem Ufer zurücklässt, so wird einer gefressen werden. Ist es möglich, den Fluss zu überqueren, ohne dass die Ziege oder der Kohlkopf gefressen werden? Quelle: Hopcroft, Ullman: Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie, S. 14, 15 Erste Analyse: evtl. wichtige * Objekte: Mann, Wolf, Ziege, Kohlkopf, Ufer (links u. rechts), Fluss, Boot * Eigenschaften, Beziehungen: unbewacht an einem Ufer, Wolf frisst Ziege, Ziege frisst Kohl, Boot trägt Mann + 1 Objekt * Tätigkeiten: Fluss überqueren, Objekt transportieren (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 112a Ziele: Modellierung am Beispiel kennenlernen in der Vorlesung: Erläuterungen zu der Aufgabe, Skizze. Verständnisfragen: * Welche Aspekte der Aufgabe sind für die Lösung wichtig? * Welche sind unwichtig? * Wie können wir die wichtigen Aspekte präzise beschreiben? -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.13 Modellierung der Flussüberquerung Kalkül: endlicher Automat mit Zuständen und Übergängen ZK MW WZK M illegal: einer wird gefressen MW M MZ M MWZK WK MZ MWK Z Start MK MW MK WZ MK M K MWZ W MZK M MK WZ MZ MZ MW ZK M MZK W MWZ K M ZK MW MK MW WZ MK Ziel MWZK MZ WK Z MWK MZ M (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 113 Ziele: Prozess der Modellierung am Beispiel erkennen in der Vorlesung: Erläuterungen dazu (siehe auch nächste Folie): * Bedeutung der Graphik und der Symbole, * Zustände und Übergänge eines endlichen Automaten (siehe Kap. 8), * Darstellung als Graph mit Knoten und Kanten (siehe Kap. 6) * Wertebereiche der Information zu Zuständen (siehe Kap. 2) Verständnisfragen: * Prüfen Sie, ob das Modell die Aufgabe korrekt und vollständig beschreibt. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.14 Diskussion des Modellierungsbeispiels * Modellierung von Abläufen, Folgen von Schritten: Kalkül endlicher Automat * Abstraktion: nur die Zustände und Übergänge interessieren * relevante Objekte benannt: M, W, Z, K * jeder Zustand wird charakterisiert durch ein Paar von Mengen der Objekte, (linkes Ufer, rechtes Ufer); jedes Objekt kommt genau einmal vor * zulässige und unzulässige Zustände * Übergänge werden mit den transportierten Objekten beschriftet Besonders wichtig ist, was nicht modelliert wurde, da es für die Aufgabe irrelevant ist! z. B. die Länge des Bootes, die Breite und Tiefe des Flusses, usw. Kreative Leistung: * Kalkül "endlicher Automat" wählen, Bedeutung der Zustände und Übergänge festlegen systematische Tätigkeit: * speziellen Automat aufstellen, Lösungsweg finden Meist kann man Lösungen am Modell entwickeln. (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 114 Ziele: Prozess der Modellierung am Beispiel erkennen in der Vorlesung: Erläuterungen dazu (siehe auch vorige Folie): * In jedem Kalkül: Namen und Wertebereich für die relevanten Dinge, Irrelevantes weglassen. * Es gibt auch ernsthafte Aufgaben nach diesem Muster: Finden Zulässiger Folgen von Zustandsübergängen! Verständnisfragen: * Wie würden sie eine ähnliche Aufgabe modellieren, in der die beiden Tiere nicht hungrig sind aber das Boot nur begrenzte Tragfähigkeit hat? -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.14a Modellierungsbeispiel: Getränkeautomat Die Bedienung eines Getränkeautomaten soll modelliert werden. Das Gerät soll Getränke wie Kaffee, Tee, Kakao gegen Bezahlung mit Münzen abgeben. Man soll Varianten der Getränke wählen können, z. B. mit oder ohne Milch oder Zucker. Die Modellierung soll berücksichtigen, dass im Gerät nur begrenzte Vorräte untergebracht werden können. Im Rahmen der Übungen werden präzisere Beschreibungen der Bedienung und der Funktionen des Getränkeautomaten entwickelt. Im Laufe des Semesters werden wir die jeweils gelernten Kalküle zur Modellierung des Getränkeautomaten anwenden. Daran werden wir erkennen, welche Kalküle sich für welche Aspekte gut eignen. (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 114a Ziele: Semesterprojekt kennenlernen in der Vorlesung: Erläuterungen zur Durchführung und zum Zweck des Beispiels: * Modellierung im Zusammenhang üben. * Stärken und Schwächen der Kalküle im Vergleich kennenlernen. * Aufgabe ist absichtlich unscharf formuliert: Das ist real und gibt Raum zur Augestaltung. * Präzisierung von Aufgaben üben. * Modellierung verschiedener Aspekte trennen. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.15 Allgemeiner Modellbegriff * Abbild eines vorhandenen Originals (z. B. Schiffsmodell) * Vorbild für ein herzustellendes Original (Gebäude in kleinem Maßstab; Vorbild in der Kunst) * konkretes oder abstraktes Modell (Schiffsmodell, Rentenmodell) * konkretes oder abstraktes Original (Schiff, Bevölkerungsentwicklung) davon abweichende Bedeutungen: * Fotomodell: führt Mode (oder sich) vor * Automodell: Typreihe * in der Logik: Eine Struktur S ist ein Modell der Formeln F, wenn alle F für S gelten. hier in der Informatik: * abstraktes Abbild oder Vorbild zu abstrakten oder konkreten Originalen (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 115 Ziele: Begriff fixieren in der Vorlesung: Erläuterungen und weitere Beispiele dazu Verständnisfragen: * Geben Sie weitere Beispiele zu den Aspekten. * Schlagen Sie den Begriff Modell in allgemeinen Lexika und in Lexika der Informatik nach. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.15a Modell: Buslinienplan (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 115a Ziele: Beispiel für Modell aus dem Alltag in der Vorlesung: Abstraktion erläutern -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.15b Modell: Busfahrplan (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 115b Ziele: Beispiel für Modell aus dem Alltag in der Vorlesung: Abstraktion erläutern -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.15e Modellbegriff im allgemeinen Lexikon Wissenschaften einschließlich Informatik mathematische Logik aus Meyers Neues Lexikon, in zehn Bänden, Meyers Lexikonverlag, 1993 (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 115e Ziele: Modellbegriff einordnen in der Vorlesung: Hinweis auf Aspekte * in der Informatik, * in anderen Wissenschaften, * außerhalb von Wissenschaften. Verständnisfragen: Schlagen Sie den Begriff Modell und verwandte Begriffe in anderen Lexika nach. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.15f Modellbegriff im Lexikon der Informatik aus H-J. Schneider: Lexikon der Informatik und Datenverarbeitung, 3. Aufl., Oldenbourg Verlag, 1991 (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 115f Ziele: 2 unterschiedliche Bedeutungen in der Informatik in der Vorlesung: Erläuterung der beiden Varianten Verständnisfragen: Schlagen Sie den Begriff Modell und verwandte Begriffe in anderen Lexika der Informatik nach. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.16 Zweck des Modells Der Verwendungszweck bestimmt die Art des Modells! z. B. * Gebäudemodell: optischer Eindruck * Grundriss: Einteilung des Grundstückes und der Räume * Kostenplan: Finanzierung * Gewerkeplan: Bauabwicklung Nur was für den Zweck relevant ist, wird modelliert! Vollständige Modellierung des Originals ist nicht sinnvoll. Für den Zweck die jeweils passende Modellierungsmethode (Kalkül) verwenden! (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 116 Ziele: Bedeutung des Verwendungszweckes erkennen in der Vorlesung: Erläuterungen zu den Zwecken und Modellierungsmethoden. Verständnisfragen: * Was sind die Modellierungsmethoden in den angegebenen Beispielen? * Geben Sie weitere Kalküle an und Zwecke für die sie sich eignen. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.17 Arbeiten mit dem Modell * Operationen, die man am Original nicht durchführen kann z. B. neue Flügelform im Windkanal oder in der Computer-Simulation erproben * Bestimmte Aspekte eines komplexen Gebildes untersuchen und verstehen, z. B. Geschäftsabläufe in einer Firma * Verständigung zwischen Auftraggeber und Hersteller des Originals, z. B. Hausbau, Software-Konstruktion * Fixieren von Anforderungen für die Herstellung des Originals, Software: Requirements, Spezifikation Modell validieren: Nachweisen, dass die relevanten Eigenschaften des Originals korrekt und vollständig im Modell erfasst sind und darüber Einvernehmen herstellen. (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 117 Ziele: Modellieren heißt verstehen! in der Vorlesung: * Modellieren zum eigenen Verständnis, * Modell zur Abstimmung mit anderen * Modell untersuchen, wenn Original nicht verfügbar. * Beispiele zur Validierung Verständnisfragen: * Geben Sie weitere Beispiele zur Validierung von Modellen. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.18 Bezug zwischen Original und Modell Original Modellabbildung Modell O M a Operation opO opM Operation auf Original auf Modell Interpretation O` M` geändertes I geändertes Original Modell Für alle relevanten Operationen muss das Diagramm kommutieren, d. h opO (O) = I (opM (a (O))) Die Operation auf dem Original entspricht der Interpretation der Operation auf dem Modell. (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 118 Ziele: Formale Anforderung an das Modell in der Vorlesung: Erläuterungen dazu -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.19 Modellierte Aspekte Ein Modell beschreibt nur bestimmte Aspekte des Originals und seiner Teile: * Struktur, Zusammensetzung des Originals (z. B. Organisationsschema einer Firma) * Eigenschaften von Teilen des Originals (z. B. Farbe und Wert einer Spielkarte) * Beziehungen zwischen Teilen des Originals (z. B. Abhängigkeiten der Gewerke beim Hausbau) * Verhalten des Originals unter Operationen (z. B. Zugfolge bei der Flussüberquerung) Zur Modellierung bestimmter Aspekte eignen sich bestimmte Methoden und Kalküle: * Struktur: Wertebereiche, Entity-Relationship, KFG, Klassifikation, Typen * Eigenschaften: Logik, Relationen * Beziehungen: Graphen, Relationen, Logik, Entity-Relationship * Verhalten: endliche Automaten, Petri-Netze, Algebren, Graphen (c) 2007 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 119 Ziele: Einteilung der modellierten Aspekte in der Vorlesung: * Verschiedene Sichten auf das Original. * Der Zweck bestimmt die passende Sicht. * Zuordnung zu den Kalkülen der Vorlesung. Verständnisfragen: * Diskutieren Sie die Sichten am Beispiel eines Originals. -------------------------------------------------------------------------------- Mod-1.20 Deklarative oder operationale Beschreibung Deklarative Beschreibung des Modells macht Aussagen über Aspekte des Originals. Operationale Beschreibung des Modells gibt an, wie sich das Original unter bestimmten Operationen verhält. Beispiel Balkenwaage: a b x y deklarativ: Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn sich die Gewichte umgekehrt proportional zu den Längen der Balken verhalten: x * a = y * b. operational: Erst lege ich auf den Balken der Länge a ein Gewicht x; dann lege ich auf den Balken der Länge b ein Gewicht y = x * a / b; danach ist dieWaage wieder im Gleichgewicht. deklarativ: operational: Aussagen meist allgemein gültig, häufig nur Beispiele, unvollständig, auf die Aufgabe bezogen, legt eine Lösung nahe (fest), ohne redundante Abläufe erzwingt Nachvollziehen von Abläufen (c) 2011 bei Prof. Dr. Uwe Kastens -------------------------------------------------------------------------------- Vorlesung Modellierung WS 2011/12 / Folie 120 Ziele: Möglichst deklarativ beschreiben. in der Vorlesung: Diskussion von Beispielen. --------------------------------------------------------------------------------